Matematika

Matematika moroi ba bahasa Yunani: μαθημα - mathēma, "pengetahuan, pemikiran, pembelajaran") ma fatua lö lafo'eluaha ia simane da'ö lamane wanguma'ö ilmu hisab ya'ia da'ö sambua wamahaö ; hawa'ebua, hewisa wenaeta, hewisa wangerai nahia si lö ösi, ba tanöbö'önia. Ya'ira si no manöndra famahaö ba Matematika andre ma töira laŵa'ö ia para matematikawan no lafatohu ba wangoguna'ö ngawalö wenaeta ma lala,[2][3] aefa da'ö la'oguna'ö ba wo rumuskonjektur sibohou, ba lafangamöi hezo zatulö molo'ö metode deduksi si no mondrege wa'abua ma ketat nifadege moroi ba aksioma faoma eluaha-eluaha sifahatö.[4]

Euklides, matematikawan Yunani, abad si-3 SM, simane si no ihaogö wamatunö ma igambaraini ba wamatunö Raffaello Sanzio moroi ba da'a izaraini ya'ia da'ö moroi ba Sekolah Athena.[1]

Alua wabu'asa lamane hadia fefu zifakhai ba matematika simane numero ma bilangan ba niti ma titik (geometri) no so ba gulidanö andre, ma zui nisöndra ma nihaogö niha. Famahaö sangoguna'ö fangera-ngera sifakhai ba ngawalö zi so wetaro simane, owulo-wulo, ebolo-bolo, öfa sagi, btn, simanö göi zifakhai ba ha wa'ebua, ba ngawalö zifakhai khönia. Matematika andre, asese sibai la goligö ba zi tölu fenaeta : aijabar, analisis, ba geometri. Hewa'ae simanö, tebai sibai tobali gohe-gohe saro ba wogoligö ngawalö wamahaö ba matematika andre, me fefu wenaeta wamahaö ba matematika andre, arakhagö no oi faruka. Si no to'ölö simane aijabar no mangahatö ia sifakhai ba ngawalö numero ba si tebai la fatunö föna niha, nibabaya tanga ma ba li Indonesia lamane melibatkan bilangan dan pengabstrakannya. Ba wo'angeragö fa'atarö ngawalö zifakhai ba nifatohu ba si no tetatugöi ndregenia, ba na tafaigi hewisa geometri ya'ia da'ö sambua goli-goli moroi ba matematika sifakhai ba sains nifodane-dane moroi ba postulat si tola mame'e furugö ba zi sambua ni'erai ma ba wame'e sambua wamaedo si tola labali'ö dane-dane ba wame'e zinöndra.

Samösa matematikawan Benjamin Peirce manötöi matematika sitobali "famahaö same'e furugö-furugö soguna".[5]

Molo'ö Max Tegmark, fangoguna'ö "Matematika lö tobali gohe-gohe ba ni'ila hörö" iŵa'ö wa nifa'ema matematika andre ba niha lö möi moroi ba nifatörö niha. Sitobali fa'afaehu moroi ba wamahaö tanöbö'ö, fa'efania ba ni'ila hörö ena'ö böi irege imane niha gulidanö, wa fe'aso gulidanö andre no moroi ba wenaeta matematika, möi fa'afasala wanema'ö ya'ia na irugi simanö da'ö.

Molo'ö fangoguna'ö fangera-ngera ma lamane mangoguna'ö uto, logika ba abstraksi matematika, matematika tefazaewe moroi ba pencacahan, fangerai ma perhitungan, fanu'a ma pengukuran, ba famareso molo'ö fenaeta ma pengkajian sistematis sifakhai ba bangun geometri faoma fa'atewu'a ngawalö mbotoŵa sifakhai ba wamahaö fisika. Matematika salio, tefaehagö ba ngawalö halöŵö niha i'otarai me no so waö-waö matematika andre. Fabu'asa ba matematika andre si'oföna sibai ba Matematika Yunani, si'oföna sibai ba karya Euklides.

Matematika sidugu tedou, simane ba Tiongkok ba ndröfi si 300 SM ma fatua lö masehi, ba India ba ndröfi si 100 M, ba ba danö Arab ba ndröfi si 800 M, ofeta ginötö Renaisans, me inötö tesöndra wamahaö sibohou ba matematika no tola fakhai ba ngawalö wangalui fa'atua-tua tanöbö'ö, ba hiza tenga ha meluo da'ö, ofeta ma'ökhö, matematika andre no oya ma me'e fanolo ba wamahaö tanöbö'ö.[6]

Iada'a, matematika no la'oguna'ö niha ba zi sagörö ulidanö sitobali fakake ba wanolo famahaö sifakhai ba wamahaö ulidanö ma ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, faoma ilmu sosial simane; ekonomi, faoma psikologi. Na Matematika terapan, no fenaeta moroi ba matematika si fakhai ba wamahaö tanöbö'ö , da'a zo lulugö fangalui ngawalö wamahaö sibohou ba matematika andre, simane statistika faoma teori permainan.

Ya'ira niha sangodödögö halöŵö ba matematika andre oi mangalui hewisa nifotöi matematika murni, ma sambua wamahaö ba matematika ba wodou'ö ngawalö zifakhai ba matematika andrö. Lö la tehegö so wanofu ba högöra si tebai mufosinöndra, la'odödögö ba wangalui ngawalö hadia lala ba wamosinöndra fanofu andrö. Da'ö zi tobali fondrou wanga'asogö ba fangoguna'ö nifotöi matematika murni.[7]

Böröta Wehede (Etimologi)Sunting

Ngawua wehede "matematika" tefa'aso moroi ba wehede ma bahasa Yunani Kuno ya'ia da'ö μάθημα (máthēma), si tola la fo'eluaha pengkajian, pembelajaran, ilmu ma famahaö si so ba mbate'e si lö ebua sibai ma bate'e side-ide, ba eluaha molo'ö teknis tobali "pengkajian matematika", da'a tenga ha alua ba ginötö iada'a no moroi ba ginötö zaman kuno. Fehede na molo'ö kata sifat ya'ia da'ö μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, ma tekun belajar, na lafo'eluaha sibai wa no tola lamane matematis. Na molo'ö famahaö si tefaudu ba matematika, ya'ia da'ö mathēmatikḗ tékhnē, ba wehede bahasa Latin ya'ia da'ö ars mathematica, nifo'eluaha ya'ia da'ö seni matematika.

Na molo'ö fehede si töra moroi ba zi sambua ma bentuk jamak asese la'oguna'ö ba bahasa Inggris, simanö göi ba wehede bahasa Prancis latötöi; les mathématiques da'a lö asese la'oguna'ö ba wanguma'ö zi ha sambua ma bentuk tunggal, ya'ia da'ö lamane ; la mathématique, sanandrösa ba bentuk jamak bahasa Latin ngawua sitola lö abua dambai geluahania la'oguna'ö wehede mathematica Cicero, na ba wehede bentuk jamak bahasa Yunani lamane; τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), da'a wehede ni'oguna'ö Aristoteles, ma na lafo'eluaha ia ba wehede salio manö ya'ia da'ö ; fefu zifakhai ba wangerai ma ba wehede Indonesia tola laŵa'ö ia; "segala hal yang matematis".[8] Hiza, ba bahasa Inggris, fehede sifakhai ba mbotoŵa ma kata benda ya'ia da'ö; mathematics manga'i bentuk tunggal na la'oguna'ö ba wehede halöŵöa ma kata kerja. Ba ngawalö wamatunö ma wahuhuosa sifakhai ba matematika, asese la'adogo-dogo'ö wanötöi lamane; math da'a ba Amerika Utara na ba nahia tanöbö'ö misa lamane; maths.

Waö-waö (Sejarah)Sunting

 
Sebuah quipu, ni'oguna'ö ba Inca ba wanura ngawalö numero ma bilangan.

Evolusi matematika tola la faigi salere abstraksi matematika sidugu monönö. Abstraksi ba mböröta, da'a alua oya ba gurifö,[9] ya'ia da'ö sofakhai ba bilangan: famatunö ma fangerai dombua apel faoma dombua ndrima (ha duma-duma, da'a), fa'oya nia no fagölö, ma ba wehede matematika lamane; pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.

 
Matematikawan Yunani Pythagoras (c. 570 BC – c. 495 BC), da'a no la'ila sambua ni söndra Pythagoras irege laŵa'ö ia ya'ia da'ö Teorema Pythagoras

Baero da'ö meno sa'ae mozawili wamahaö matematika andre ba no oi la'ila lala pencacahan zifakhai ba fisika, niha prasejarah no göi la'ila lala ba wo cacah ha wa'ebua ngawalö mbotoŵa si lö oroma ma abstrak, simane InötöNgaluo, Musim, Döfi. Aritmetika dasar (Famonönö, Fangeheta, Fokalikö, faoma Fombagi) alua hulö sito'ölö.

Lala amatohula, moguna so wanura ma lala hewisa ba wanura numero, hulö sinali ma dawai nifelu ni tötöi faoma quipu ni oguna'ö soi bangsa Inca ba wangirö'ö hadia zifakhai ba numero. Numero oya ngawalö, numero sitesura siföföna sibai ya'ia da'ö si so ba naskah warisan Mesir Kuno ba Kerajaan Pertengahan Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

 
lala numero ba Maya, ma Sistem bilangan Maya

Fangoguna'ö fondrege sara matematika andre ya'ia da'ö ba halöŵö famawa, fanu'a tanö, ba wogambaraini, ba wangahaogö nukha, ba simanö göi ba wangerai inötö ba hiza lö irai tefazawili ba niha sato irugi döfi si 3000 SM ofeta miföna ba ginötö niha Babilonia faoma Mesir Kuno tebörögö mangoguna'ö Aritmetika, Aljabar, faoma Geometri ba wangerai Pajak ba sifakhai ba wangerai kefe tanöbö'ö simane ba wangahaogö ngawalö nahia, ma fatukasa faoma ba Astronomi.[10] Famahaö matematika si tefa'anö molo'ö fenaetanua tebörögö moroi ba zaman Yunani Kuno ba gotalua ndröfi si 600 faoma döfi si 300 SM.

 
Matematikawan Persia Al-Khwarizmi (780 M – 850 M), sanöndra ma samörötaigö goli-goli matematika ya'ia da'ö aljabar.

Ba ginötö keemasan Islam, ya'ia da'ö ba abad si-9 faoma abad si-10, matematika no oya ni'ehaogö samodane-dane moroi ba matematika Yunani: da'a oya moroi ba matematikawan Persia simane Al-Khwarizmi, Omar Khayyam dan Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

Matematika i'otarai ba ginötö andrö, ba no so khönia wa'atedou, mozawili ba zi sagörö ulidanö, no so wa'ahatöra matematika faoma Sains, si mohare faoma fatambai. Fanöndra ma penemuan-penemuan matematika tefalua ba zi sagötö waö-waö ba tefatohu ofeta mane ma'ökhö. Molo'ö Mikhail B. Sevryuk,' ba mbaŵa Januari 2006 ni fatumbu'ö ma terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Oya sibai zinura makalah faoma buku ni fakhai ba basis data ma Mathematical Reviews i'otarai döfi si 1940 ma böröta te'oguna'ö MR (tahun pertama beroperasinya MR) iada'a no töra moroi ba zi 1,9 juta, ba töra moroi ba zi 75 ribu artikel ma sinura ba basis data andrö ero döfi. Sabölö oya karya ba samudera da'a tefa'anö faoma teorema matematika sibohou faoma Pembuktian Matematika."[11]

.[8]

Ilham, matematika murni, terapan, faoma estetikaSunting

 
Sir Isaac Newton (1643-1727), samösa penemu kalkulus infinitesimal.

Matematika tefatumbu'ö ba ginötö so ngawalö zalua si tebai te'asiwai sifakhai ba ha wa'oya ma kuantitas, struktur, ruang, faoma perubahan. Ba mböröta da'a tesöndra ba ginötö alua halöŵö wamawa ma perdagangan, fosu'a tanö ma pengukuran tanah, ba aefa da'ö ba Astronomi; iada'a, arakhagö fefu wamahaö ma ilmu pengetahuan ena'ö te fangamöi ba wangosisi'ö ndra matematikawan, ba wangalui lala wamosinöndra na so zi tebai lafosinöndra. Hulö simane, samösa fisikawan sotöi Richard Feynman manöndra rumus integral lintasan mekanika kuantum mangoguna'ö fangi'ila ba matematika faoma wawasan fisika, faoma teori dawai iada'a, teori ilmiah si hino wa'atedou mangodödögö hewisa wa tola tefurugö ngawalö wangi'ila andrö, Interaksi dasar, ba tetohugö ba wanöndra fangil'ila sibohou ba matematika.[12]

Ba so göi matematika ifaogö ia ba wo'angeragö ya'ia, ba labali'ö sitobali lala ba wame'e söndra ba ngawalö daha-taha. Ba hiza asese sibai matematika andre tefangamöi ma moguna ba lala wamahaö tanöbö'ö. Si no tehöngö wa matematika fondrege sara ma "paling murni" asese tobali famahaö terapan praktis ya'ia simane ni fa'ema Eugene Wigner ya'ia da'ö " Fa'amoguna si no sökhi sibai moroi ba matematika andre, ofeta ba zi lö ikhamö aka niha sito'ölö ba wamahaö Ilmu Pengetahuan Alam moguna monönö wamatunö.".[13]

Ba nahia samalua pengkajian, fangi'ila andre no la faolo ira ba wamahaö matematika. Sambua wa'afabö'ö moroi ba Matematika murni faoma Matematika terapan: ato ndra matematikawan la'odödögö wamareso fangi'ila ba gotalua zi dombua wenaeta andrö, ba asese da'a tobali sambua famahaö ba program studi ba wanöndra gelar sarjana . Matematika terapan no oya la'osambuai'ö faoma tradisi-tradisi baero matematika ba tobali sambua lala wamahaö simane Statistika, Riset operasi, ba Ilmu komputer.

Dozi ya'ira si terou tödö ba matematika asese sibai la söndra zifakhai ba estetika ba wamahaö matematika. Ato matematikawan zanguma'ö wa fa'asökhi ma keanggunan matematika, estetika si teforoma'ö, faoma fa'asökhi ma keindahan moroi ba matematika da'ö samösa. Ba matematika andre, fangaröu ba dödö ma fangide-ngide'ö teharagoi. Tesöndra wa'asökhi ba wangide-ngide'ö sitobali lohe-lohe nibe'e, sitobali dane-dane ma bukti Euclid wa tesöndra zi tebai mu'erai ha wa'oya bilangan prima, ba hiza bakha ba wangerai numero ma metode numerik si sökhi fangerai fa'abölö-bölö ya'ia da'ö ba transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy bakha ba A Mathematician's Apology manguma'ö wa fa'afaduhu dödö ba wa'asökhi andre, khönia samösa, no tobönö ba wanuheni pengkajian matematika murni.[14]

Ya'ira sangodödögö famahaö matematika andre ma asese lakaoni ira ya'ia da'ö matematikawan asese erege dödö ba wangalui dane-dane ma bukti teorema nifaudugö si sökhi, fangalui Paul Erdős asese tefuta ba wangalui wa'a moroi ba zoera ni'amoni'ö ma "Alkitab" wa no isura Lowalangi ngawalö hadia ia zi so ba gulidanö andre.[15][16] Fa'amohöngö matematika andre ma matematika rekreasi ya'ia da'ö wa no oi oya wa'omuso dödö na inötö te fosinöndra ngawalö wanofu ba matematika.

Notasi, bahasa, dan kekakuanSunting

 
Leonhard Euler. Amada da'a samösa matematikawan soya manöndra ngawalö fa'atua-tua ba zi sandrohu inötö

No oya notasi matematika ni'oguna'ö ba ginötö iada'a lö sa'ae tesöndra ofeta abad si-16.[17] Ba abad si-18, Euler mo noro dödö ba wa'oya notasi ni'oguna'ö iada'a. Notasi modern no möi matematika aoha ba khö ndra sangodödögö ma para profesional, ba hiza ba zawena so wa'omasi ba wamahaö matematika asese so wa'ata'u ba wanohugö ngawalö wamahaö matematika. Alua wo hösö ngawalö wangi'ila ba wame'e fa'akayo ngawalö hadia ia zifakhai ba matematika. Simane Notasi musik, notasi matematika modern so khö lala wehede ma tata kalimat' si kaku ba ifa'ema ngawalö informasi no lala sabua sibai na lasura faoma famahaö tanöbö'ö.

Bahasa matematika tola göi möi börö walö omasi ba zawena fao ba wamahaö matematika andrö. Ngawalö wehede simane; atau faoma hanya so khönia geluaha tenga simane fahuhuosa niha ba zi'ero ma'ökhö. Baero da'ö, fehede simane; himpunan terbuka ba lapangan matematika mo'eluaha ba matematika. Jargon matematika fao ngawalö wogaoni ma istilah-istilah teknis simane homeomorfisma faoma integral. Ba hiza so mbörö ba notasi khusus faoma jargon teknis da'a: matematika mangoguna'ö presisi töra moroi ba wahuhuosa ero ma'ökhö. ya'ira ira matematikawan manötöi presisi bahasa faoma logika da'a ya'ia da'ö faoma fehede; "ketat" ma "kaku" (rigor). Ba hiza, na no so wehede si no labe'e khönia geluaha, ba bawangoguna'ö ya'ia la fo'eluaha simane si no la be'e eluaha khönia, tebai la fawu'a geluahania. Andrö wa laŵa'ö khönia "ketat" da'a sambua gamaehuta ba bahasa matematika.

 
Famaedo ma Lambang ketakhinggaan ba zi ha'uga wamaehagö hadia ia ma ba li Indonesia lamane; di dalam beberapa gaya sajian.

Fangoguna'ö bahasa ketat modane-dane si no amaedola sifania ba wo oroma pembuktian matematika. Ya'ira matematikawan so wa'omasi ena'ö fefu teorema si no lahaogö tefaogö ba aksioma-aksioma sitobali khamötö penalaran sistematik ma fangera-ngera si tefa'oli. Da'a ena'ö möi ba wanaha "teorema" sifasala fanga'i, nifodane-dane ba wanahö si lö alua ma praduga kegagalan, hiza no oya duma-dumania zalua simane da'a.[18] Fenaeta wa lö tebulö ma kekakuan mutötöna ba matematika andre ena'ö so wa'atebulö ba zisagötö inötö: bangsa Yunani manötöna dalil si no tefa'oli, hiza meluo da'ö lala ni'oguna'ö ya'ia da'ö Isaac Newton no ambö möi nibulö'ö. Salua sifao ba wamo'eluaha ni'oguna'ö Newton möi fo fareso ma fo analisis sindruhu-ndruhu dödö ba sitobali dane-dane formal ba abad si-19. Iada'a, ya'ira matematikawan lö'aetu wabu'asara sifakhai ba bukti berbantuan-komputer. Börö me fangerai sebua abua ma'ifu wamareso, dane-dane da'ö tola manö ambö möi nibulö'ö.[19]

Aksioma molo'ö fangera-ngera tradisional ya'ia da'ö; "fa'atulö sitobali dane-dane" ma ba wehede Indonesia lamane; "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", ba hiza fangera-ngera da'a nomöi börö wabu'asa. Ba wenaeta formal, sambua aksioma ha sara bu ma seutas dawai ma laŵa'ö lambang logika simbolik, si so eluaha ba rumus si no so nifetaro ba sistem aksioma. Da'a khamötö program Hilbert ba wametaro fefu matematika ba zisambua basis aksioma sabölö, ba hiza molo'ö Teorema ketaklengkapan Gödel ero-ero sistem aksioma (yang cukup kuat) mangokhögö rumus-rumus si tidak dapat ditentukan; ba börö da'ö sambua sistem aksioma ma aksiomatisasi safuria ba matematika lö möi ni'angeragö ma mustahil. Heŵa'ae no simanö, matematika asese la angeraigö (di dalam konteks formal) lö baero moroi ba teori himpunan ba zi ha'uga aksiomatisasi, ma nalafo'eluaha ya'ia da'ö wa ero-ero sambua wangombakha ma dane-dane matematika tola famaedonia ba rumus-rumus teori himpunan.[20]

Matematika sambua famahaö (ilmu pengetahuan)Sunting

 
Carl Friedrich Gauss, no ibali'ö ia samösa razo ma "pangerannya para matematikawan", ba hiza imane wa matematika sitobali "Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss no iŵa'ö wa matematika sitobali "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[21] Ba wehede sindruhunia ya'ia da'ö, ba li Latin Regina Scientiarum, ba li Jerman Königin der Wissenschaften, sifagölö eluaha ba ilmu pengetahuan so'eluaha tanölafa ma (lapangan) ba wamahaö. Atulö sibai, ba geluaha ba li Inggris, lö fanendre dödö wa matematika ba da'a no sambua famahaö. Ni odödögö ba wamo'eluaha ya'ia ba ilmu pengetahuan alam alua ba ginötö aefa da'ö. Na so atö zamaigi ilmu pengetahuan ha ba Fisika, hiza matematika, tenga sambua famahaö.

Imane Albert Einstein wa "ha wa'aröu huku sifakhai matematika no ahatö ba ni'ila hörö ni babaya danga, ba hiza tebai ni etu'ö wa da'a zatulö sibai, ba hiza no tefaudu atö ba no da'ö zahatö ba ni'ila hörö."[22]

Ato zi no alaŵa fangi'ila ma laŵa'ö ia filsuf no farisayo sibai wa matematika tebai la tenaŵa moroi ba wo tandraigö ya'ia, andrö börö da'ö tenga famahaö ma fangi'ila ni fo'eluaha Karl Popper.[23] Ba hiza, bakha ba zi no tefa'elegö ba zi no la söndra me döfi si 1930 sifakhai ba logika matematika no teforoma'ö wa matematika tebai la reduksi tobali logika, ba hiza Karl Popper mamurugö imane, wa "no oya teori matematika, simane fisika faoma biologi, ya'ia da'ö hipotetis-deduktif: andrö börö da'ö, matematika ahatö ba wamahaö ilmu pengetahuan alam si no la'ila niha wa hipotesis-hipotesisnia ya'ia da'ö konjektur (dugaan), ba hiza töra moroi ba zawena la söndra niha sibohou."[24] Ya'ira niha si bijak bestari tanöbö'ö, tötöi manö simane Imre Lakatos, no lafatötö sambua wenaeta galimosa ma pemalsuan ba matematika da'ö samösa.

Sambua wamaigi moroi ba wamahaö simane fisika teoretis ya'ia da'ö matematika sifao aksioma-aksioma ni faedogö sahatö ba ni'ila hörö. Saluania, samösa fisikawan teoretis, sotöi J. M. Ziman, mame'e söndra wa famahaö sifagölötö ma pengetahuan umum nofao khönia bakha wamahaö matematika.[25] Ba zi ha'uga zi no alua, matematika no oya faoma mame'e fanuheni ba wamahaö tanöbö'ö ma famahaö fisika, simane fangalui hadia zalua ba zi no la börötaigö wamareso salua andrö, simanö göi ba Intuisi ma fanandraigö ba perumusan-konjektur, ba matematika, he göi ba wamahaö tanöbö'ö.

UmbuSunting

  1. Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euklides yang dibuat selama masa hidupnya yang masih bertahan sebagai kekunoan. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada daya khayal seorang seniman (lihat Euklides).
  2. Lynn Steen (29 April 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–616. dan diikhtisarkan di Association for Supervision and Curriculum Development. Archived 2007-09-29 at the Wayback Machine, ascd.org
  3. Keith Devlin, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
  4. Jourdain.
  5. Peirce, p.97 Hewa'ae matematika moguna sibai ba wa'auri niha, fa'atedou ba wamahaö sains ba teknologi, ofeta ba wangehaogö ulidanö andre, matematika auri ia ba fandrafe si'onarai ba wangera-ngera, tenga ba wa'auri soroma hörö. Albert Einstein manguma'ö no fagöna sibai wa ofeta mane ma'ökhö huku si no ifatumbu'ö matematika, na ahatö ba wa'auri niha si'ero ma'ökhö, hewa'ae matematika tenga ni'ila hörö ba ibabaya tanga."
  6. Eves
  7. Peterson
  8. 8,0 8,1 The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary
  9. S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain, Trends in Neuroscience, Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.
  10. Kline 1990, Chapter 1.
  11. Sevryuk
  12. Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. Oxford University Press. 
  13. Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Archived 2011-02-28 at the Wayback Machine" Famahuhuosi ma Komunikasi ba Matematika Murni faoma Terapan 13(1): 1–14.
  14. Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. 
  15. Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. 
  16. Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001). Proofs from the Book. Springer. 
  17. Penggunaan Aneka Lambang Matematika Terdini (memuat banyak referensi yang lebih jauh)
  18. Lihatlah bukti palsu untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. sejarah Teorema Empat Warna berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.
  19. Ivars Peterson, Wisatawan Matematika, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).
  20. Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Ba gotalua wa'oya nga'oli matematika modern, teori himpunan no tefedadao ba nahia si sökhi ma naha si unik: so ma'ifu wo'ositengö ma pengecualian, entitas-entitas ni fareso ma ni'angeragö ba ngawalö wanofu ba matematika tola lafaigi ia sitobali sambua himpunan khusus ma ba kelas-kelas objek tertentu.' "
  21. Waltershausen
  22. Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam.
  23. Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hlm. 228. 
  24. Popper 1995, p. 56
  25. Ziman